التكامل المحدود
التعريف1



نعتبرالدلة f
المستمرة و الموجبة على المجال ]a b[
ليكن (C) تمثيلها البيانى فى
المستوى المنسو ب الى معلم متعامد و متجانس

نسمى تكامل محدود من a الى b للدالة
f ونرمز له بالرمز
العدد الحقيقى الدى يمثل مساحة (بوحدة مساحة )
الجزء من المستوى المحددبالمنحنى
(C) محور الفواصل و المستقيمات x=a ,
y=b .

مثال

ادا كانت الدالة f دالة ثابتة ومو جبة اى
f(x)=k فان

تمثل مساحة مستطيل فنجد عند ادا

( k
( b-a = تمرين 1( انظر التصحيح )لتكن الدالة
التالفية f المعرفة على R
بما يلى f(x)=(1/2) x +2

1. مثل بيانيا الدالة f . احسب
   
   
2. عين دالة اصلية F للدالة f على
   R تحقق ان :
   (F(4) - F(-2 =
   
   

تمرين 2( انظر التصحيح )لتكن الدالة
التالفية f المعرفة على R
بما يلي f(x)=α
x +β

1. عين دالة أصلية F للدالة f
   على R
   
2. a , b عددان حقيقيان حيث
   a0 , f(b)>0 تحقق ان
   :
   

( F(b) - F(a =

تمرين 3( انظر
التصحيح )
نعتبر الدالة f المعرفة على R
كما يلى f(x)= x² وليكن(
C) تمثيلها البيانى فى معلم متعامد و متجانس

ليكن b عدد حقيقى موجب و n عدد
طبيعى غير معدوم نجزء المجال [ o
; b ]
الى n مجال لها نفس الطول وحدودها هى
x_n,............,x₁,x₀

1. أعط قيمx_n,............,x₁,x₀و قيم ( f(x_n),..............., f(x₁)
   , f(x₀
   
2. نعتبر n مساحة
   المستطيلات و التى احد رؤوسها ينتمى الى (C)
   اوجد بدلالة n
   عبارة المساحة الملونة فى الشكلين التاليين :
   

برهن ان المساحة فى الشكل 1 تكتب بدلالة n على الشكل التالى



u_n = b³(n-1)(2n-1)/6n²
برهن ان
المساحة فى الشكل 2 تكتب بدلالة n على الشكل التالى


v_n = b³(n+1)(2n+1)/6n²
يمكن
استعمال النتيجة التالية :


1²+2²+3²+4²+...................n²=n(n+1)(2n+1)/6

1. برهن ان المتتاليتان (u_n)و
   (v_n) متتاليتان متجاورتان ثم استنتج ان
   :
   

t²dt
= (1/3)b³

1. تحقق انه من اجل كل عددين حقيقين
   a و b حيث
   a

( F(b) - F(a =

حيث F دالة اصلية للدالة f
على R

استنتج قيمة t²dt

لاحظ
f دالة مستمرة وموجبة على
المجال ] a,b [ و ليكن c
عنصر من المجال ] a,b [ لدينا


+
=


التعريف2



نعتبرالدلة f
المستمرة و الموجبة على المجال ]a b[
ليكن (C) تمثيلها البيانى فى
المستوى المنسو ب الى معلم متعامد و متجانس

نسمى قيمة متوسطة للدالة b للدالة
f على المجال ]a b[
العدد الحقيقى k حيث







= k ( b-a )


لاحظ

العدد k الدى من اجله مساحة
المستطيل تساوى مساحة الجزىء من المستوى المحدد بالدالة f
نجد



( k = 1 / (b-a



التكامل المحدود والدوال الاصلية
خاصية

اذا كانت الدالة f معرفة و
مستمرة على مجال I
وكانت F دالة اصلية
للدالة f على المجال I فانه
من اجل كل عددين حقيقين a و b لدينا
: (F(b)-F(a =
تمرين 4( انظر
التصحيح )
لتكن الدالة f حيث
=
( f( x

1. تحقق ان f معرفة و متزايدة غلى R
   
   
2. ليكن ( C ) التمثيل البيانى للدالة
   f فى المستوى المنسوب الى معلم متعامد ومتجانس
   
   بين ان ( C ) يمر من O ثم اكتب
   معادلة المماس فى هده النقطة
   
3. من اجل ] 2 /
   , 2 /
   - [
   x نضع
   =
   ( g(x) = f(tan x برهن ان
   g قابلة للاشتقاق على ] 2 /
   , 2 /
   - [
   ثم عين ( g'(x . استنتج عبارة بسيطة
   ( g(x
   
4. احسب(f(1 و (
   ) f
   
5. من اجل
   نضغ
   
   

h(x) = f(x) + f(1/x) =
+
بين ان
h دالة ثابتة ثم عينها

1. احسب
   
   
2. برهن ان f دالة فردية ثم انشىء
   ( C ).