الدوال الاصلية
تمهيد


نعتبر الدالة التالفية
f المعرفة كما يلى :
f(x)=3x+2 ليكن D
المستقيم الممثل للدالة f
فى المستوى المنسوب الى معلم متعامد ومتجانس. A
و
B نقطتان من
D لتكن'A',
B مسقطهما على محور الفواصل وفق محور التراتيب .




نفرض ان
A و B
فواصلهما على الترتيب 2 و 4
الرباعى 'ABA'B شبه منحرف
قائم مساحته هى

S==
(AA'+BB')xA'B'/2 ومنه

S = (8+14) x
2/2 اى
S
= 22

نفرض الان ان
A وB
فواصلهما على الترتيب x₁
و x₂ مع ,
x₁2 , f(x₁)> 0
f(x₂)>0
الرباعى

'ABA'B
شبه منحرف قائم مساحته هى
S==
(AA'+BB')xA'B'/2 بما ان النقطتين
A,B تنتميان

الى المستقيم
D ترتيبهما , f(x₁)
= 3x₁+2 , f(x₂) = 3x₂+2 .

لدينا اذا
AA' = f(x₁) ,
BB '=f (x₂) , A'B' = x₂-x₁
نستنتج :

S==
(f(x₁) + f(x₂)) x( x₂-x₁ ) / 2
ومنه S==
(3x₁+2 + 3x₂+2)
x( x₂-x₁ ) / 2


ومنه S==
(3x₁+2 + 3x₂+2)
x( x₂-x₁ ) / 2


ومنه S==
(3x₁+2
+ 3x₂+2) x( x₂-x₁
) / 2

بعد
النشر و الترتيب نجد: (
S== 3/2x₂²
+2 x₂ - ( 3/2x₁²
+ 2 x₁


اذا
اعتبرنا الدالة g المعرفة على
R كما يلى
:
g(x) = 3/2 x² + 2x يمكن ان
نكتب



(S==
g(x₂)-g( x₁

نلاحظ انالدالة
g قابلة للاشتقاق على
R و
f(x) = g ' (x)
= 3x + 2 اذا الدالة g
هى دالة مشتقتها f

نقول
ان الدالة g هى دالة اصلية للدالة
f .



تعريف

f دالة
معرفة على مجال I ,نسمى دالة
اصلية للدالة f كل دالة
F معرفة وقابلة للاشتقاق على
I ,و التى

مشتقتها هى f.

المثال
:

الدالة f
المعرفة على R
ب
:
f(x)=2x لها دالة اصلية
F معرفة على
R ب:
F(x)=x²
لان F'=f

لاحظ انه يمكن اخذ الدالة
F
على الشكل
: F(x)=x²+2

او
F(x)=x²-1 او بشكل عام
F(x)=x²+c


حيث
c عدد حقيقى
, الدالة الاصلية ليست وحيدة .


تمرين 1(انظر الحل و التصحيح)

f دالة معرفة على

R . اوجد فى
كل الحالات التالية الدالة الاصلية للدالة f


a) f(x) = 3
, b) f(x) = -2x
, c) f(x) = -5x²





d) f(x) = x²-x+2
, e) f(x)=2x³
, f) f(x) = (x-2) / 3


الخواص

1. اذا كانت
   F₀
   دالة اصلية للدالة f على
   المجال I فان مجموعة الدوال
   الاصلية للدالة f هى
   F=F₀+c
   
   c عدد حقيقى .
   
2. f دالة تقبل دوال اصلية على
   مجال I , ليكن
   x₀
   عنصر من I
   و y₀
   
   عنصر من R
   توجد دالة اصلية وحيدة F
   بحيث
   

F(x₀)=y₀ .
لاحظ
: كل دالة مستمرة على مجال تقبل دوال اصلية على هذا المجال
.


تمرين
2

f
دالة معرفة علىR
حيث ( f(x) = cos(x .عين الدالة الأصلية للدالة
f التي تأخذ القيمة
0 عند 1

الدوال الأصلية لدوال مألوفة

الدالة	دالتها الاصلية RÎk
f(x) =0	F(x)= k
f(x) =1	F(x)= x + k
f(x)=a	F(x)= a x + k
f(x) =x	F(x)= 1/2 x + k
f(x) =x²	F(x)= 1/3 x3 + k
f(x) =1/x²	F(x)= -1/x + k
f(x) =1/x	F(x)= ln x +k
f(x) =sin x	F(x)= -cos x + k
f (x) =cos x	F(x)= sin x + k
f(x) =ex	F(x)= ex + k
f(x) =1+tan 2 x	F(x)= tan x + k
f(x) = 1/ Öx	F(x)= 2 Öx + k
f(x) =xn n Z -{-1}	F(x)= 1/(n+1) x n+1 + k
f(x) = u'(x)un(x) n Z -{-1}	F(x)= 1/(n+1) u n+1 (x) + k
f(x) = u'(x)/ Öu(x)	F(x)= 2 Öu(x) + k
f(x) = u'(x)/u(x)	F(x)= ln |u(x)| +k
f(x) = u'(x)eu(x)	F(x)= eu(x) +k

تمرين 3
(انظر الحل و التصحيح)عين دالة اصلية للدالة f
واوجد مجال تعريف هذه الدالة الاصلية:

a) f(x)=(-2x+4)⁵
b) f(x)=(2x+1)/(x²+x+1)⁴ c) f(x)=sinx cos³x

d) f(x)=(ln x)²
/x e) 3x/Ö(x²+1)
f) f(x)= 1/ Ö(x+1)
g) f(x)=(x+2)/(x²+4x+3)

h) f(x)=2x e^x²
i) f(x)=e^3x+1
j) f(x)=xcos(x²+p)
k) f(x)= (lnx)/x

l) f(x)=(e^x+1)/e^x

m) f(x)=sin(x)/(2+cosx)
n) f(x)=x³/(1+x²)