نهاية متتالية عددية



تعريف1


(u_n
) متتالية
و L عدد حقيقي .

إذا كان كل مجال مفتوح يشمل

L
يشمل كل حدود المتتالية ابتدءا من رتبة معينة
, نقول ان المتتالية (u_n)

تقبل نهاية
L , أو أن المتتالية
( u_n) متقاربة نحو
L .

نكتب :
L








لاحظ :

1. 
   
   القول ان متتالية متقاربة نحو
   L يعنى
   كل مجال مفتوح يشمل L فهو يشمل كل حدود المتتالية ماعدا
   عدد منته من حدودها .
   
2. 
   
   القول ان متتالية متقاربة نحو
   L يعنى
   حدها العام u_n
   قريب بالقدر الذى نريد من L
   ابتداءا من رتبة معينة .
   
3. 
   
   اذا كانت متتالية متقاربة فان نهايتها وحيدة .
   

تمرين 1
(انظر
الجواب و التصحيح )
نعتبر المتتالية المعرفة ب
: u_n =
2+1/n من
اجل n>0

1. 
   
   احسب
   u₁ , u₂ , u₃ ,...., u₁₀
   بتقريب^{2 -}
   10
   
2. 
   
   لاحظ التمثيل البيانى للمتتالية (u_n)
   المعطى بواسطة راسم بيانى ماهو التخمين الذى يمكن ايجاد ه لنهاية هذه
   المتتالية ؟
   
3. 
   
   نعتبر المجال المفتوح الذى مركزه 2 و نصف قطره
   0.01 اى المجال
   ]2.01 ,
   1.99[ بين انه ابتداءا من الرتبة
   n₀
   يطلب تعيينها
   كل حدود المتتالية
   (u_n)
   تنتمى الى هذا المجال .
   
   
4. نعتبر المجال المفتوح الذى مركزه 2 و نصف قطره
   r
   اى المجال] r + 2 , r + 2
   - [ . بين انه ابتداءا من الرتبة
   n₀
   يطلب تعيينها بدلالة
   r كل حدود المتتالية (u_n) تنتمى
   الى هذا المجال .
   
5. برهن ان (u_n)
   متقاربة نحو 2 .
   

تعريف2لتكن المتتالية
(u_n) .
اذا كان كل مجال من الشكل
]
∞+ , a
[

يشمل كل حدود المتتالية ابتداءا من رتبة معينة نقو ل ان المتتالية
(u_n)لها نهاية
∞+ و نكتب :
∞ +


اذا كان كل مجال من الشكل
]
a , ∞-
[
يشمل كل حدود المتتالية ابتداءا من رتبة معينة نقو ل ان المتتالية
(u_n)لها نهاية
∞- و نكتب :
∞ -


لاحظ :

1. القول ان متتالية تنتهى
   الى
   ∞ + يعنى كل
   مجال من الشكل ]
   ∞+ , a
   [
   فهو يشمل كل حدود المتتالية ماعدا
   عدد منته من حدودها .
   
2. القول ان متتالية تنتهى
   الى ∞ + يعنى
   حدها العام u_n
   كبير بالقدر الذى نريد
   ابتداءا من رتبة معينة .
   
3. اذا كانت نهاية متتالية هى
   ∞ + فانها متباعدة .
   

تمرين 2

(انظر
الجواب و التصحيح )نعتبر المتتالية المعرفة ب
: u_n = (n²+2)/n من
اجل n>0

1. احسب u₁ , u₂ , u₃
   ,...., u₁₀ بتقريب^{2 -}
   10
   
2. 
   
   لاحظ التمثيل البيانى للمتتالية (
   u_n) المعطى بواسطة راسم بيانى ماهو التخمين الذى يمكن ايجاد
   ه لنهاية هذه المتتالية؟
   
   
3. نعتبر المجال المفتوح
   ]∞+ , 10[
   بين انه ابتداءا من الرتبة n₀
   يطلب تعيينها كل حدود المتتالية
   (u_n) تنتمى الى هذا المجال
   .
   
4. نعتبر المجال المفتوح]
   ∞+ ,
   a [ . بين انه ابتداءا من الرتبة
   n₀ يطلب تعيينها بدلالة
   a كل حدود المتتالية (u_n) تنتمى
   الى هذا المجال .
   
5. برهن ان
   ∞ +
   .