نظرية القيم المتوسطة
تمهيد


استمرارية دالة عددية يعنى رسم
بيانها مرة واحدة دون رفع اليد



مبرهنة1


نظرية القيم المتوسطة


لتكن f دالة عددية معرفة و مستمرة على مجال
I اذا كان a و b
عنصران من I و كان α
عدد حقيقى حيث :



. f(c) = α
حيث c فانه
يوجد عدد حقيقي f(a)
α


f(b)


مبرهنة2


التقابل


لتكن f دالة عددية معرفة و مستمرة على مجال[a
, b] اذا كانت f رتيبة تماما على [a
, b] فانه من اجل اى
عدد حقيقي
α حيث (f(b
α

(f(a:
المعادلة f(x)= α
تقبل حل وحيد فى المجال [a , b] الدالة f
هى تقابل من [a , b] نحو [(f(b)
, f(a:] او [(f(a)
, f(b:] حسب اذا كانت الدالة متزايدة او
متناقصة .

تمرينات تطبيقية


تمرين 1 : ما هو عدد حلول المعادلة
x²-16 = 0 على المجال [∞
+ , 0] ؟

الحل
الدالة f
حيث f(x) = x²-16 دالة كثيرة حدود فهى معرفة و مستمرة على
R لندرس اتجاه تغيراتها على
[∞ +
, 0] ثم نحسب قيمها عند حدود المجال لدينا من جهة
:


موجب b²-a² موجب
ومنه b-a لكن
f(b)-f(a) = b²-16-a²+16
= b²-a²

وهذا يعنى ان الدالة f متزايدة
تماما على [∞ +
, 0]


ومن جهة ثانية f(0) = 0²-16 = -16 و
∞+


نستنتج ان الدالة f متزايدة تماما على
[∞ +
, 0] سالبة عند 0 و موجبة عند
∞+ وحسب نظرية القيم المتوسطة المعادلة
المرفقة للدالة f تقبل حل وحيد فى المجال
[∞ +
, 0]

تمرين 2
: ما هو عدد حلول المعادلة
x³-6x²+6 = 0 على المجال
[4 , 2-] ؟

الحل
الدالة f
حيث f(x) = x³-6x²+6
دالة كثيرة حدود فهى معرفة و مستمرة على R لندرس
اتجاه تغيراتها
على [4 , 2-]
ثم نحسب قيمها عند حدود المجال لدينا من جهة :

موجب خارج خارج مجال
الجذرين وسالب بين الجذرين اى f '(x)
ومنه f '(x) = 3x²-12x = 3x(x-4)
اى
( f '(x
موجب فى المجال [0 , 2-]
و سالب فى المجال [4 , 0]ومنه
f متزايدة تماما على [0
, 2-] و
متناقصة على [4 , 0]
من جهة
ثانية f(-2)=-26
f(0)=6 f(4)=-26

نستنتج
ان الدالة f متزايدة تماما على [0 , 2-]
سالبة عند 2- و موجبة عند 0
وحسب نظرية القيم المتوسطة المعادلة المرفقة للدالة f تقبل
حل وحيد فى المجال [0 , 2-]

كذالك الدالة f
متناقصة تماما على [4 , 0]
سالبة عند 4 و موجبة عند 0 وحسب نظرية القيم المتوسطة
المعادلة المرفقة للدالة f تقبل حل وحيد فى المجال
[4 , 0]

فى الاخير المعادلة
x³-6x²+6 = 0 تقبل
حلين فى المجال [4 , 2-]




تمرين 3
(بدون حل )


ما هو عدد حلول المعادلة 2x³-9x²+12x-9/2
= 0 على المجال [3 , 0] ؟